No campo matemático da teoria dos nós, o polinômio de colchetes (também conhecido como colchete de Kauffman) é um invariante polinomial de enlaces emoldurados (ou enlaces com *framing*). Embora não seja um invariante de nós ou enlaces genéricos (pois não é invariante sob movimentos de Reidemeister do tipo I), uma versão adequadamente "normalizada" produz o famoso invariante de nó chamado polinômio de Jones. O polinômio de colchetes desempenha um papel importante na unificação do polinômio de Jones com outros invariantes quânticos. Em particular, a interpretação de Kauffman do polinômio de Jones permite a generalização para invariantes de variedades de dimensão 3. O polinômio de colchetes foi descoberto por Louis Kauffman em 1987.
Definição O polinômio de colchetes de qualquer diagrama de enlace (não orientado)
L
{\displaystyle L}
, denotado por
⟨ L ⟩
{\displaystyle \langle L\rangle }
, é um polinômio na variável
A
{\displaystyle A}
, caracterizado por três regras:
⟨ ◯ ⟩ = 1
{\displaystyle \langle \bigcirc \rangle =1}
, onde
◯
{\displaystyle \bigcirc }
é o diagrama padrão do nó trivial
⟨ ◯ ⊔ L ⟩ = ( −
A
2
−
A
− 2
) ⟨ L ⟩
{\displaystyle \langle \bigcirc \sqcup L\rangle =(-A^{2}-A^{-2})\langle L\rangle }
As imagens na segunda regra representam colchetes dos diagramas de enlaces que diferem dentro de um disco conforme mostrado, mas são idênticos no lado de fora. A terceira regra significa que adicionar um círculo disjunto do resto do diagrama multiplica o colchete do diagrama restante por
−
A
2
−
A
− 2
{\displaystyle -A^{2}-A^{-2}}
.
Referências
Leitura adicional Louis H. Kauffman, State models and the Jones polynomial. Topology 26 (1987), no. 3, 395--407. (Introduz o polinômio de colchetes)
Ligações externas Weisstein, Eric W. «Bracket Polynomial». MathWorld (em inglês) (em inglês)
