Em matemática, os polinômios de Charlier (também chamados de polinômios de Poisson-Charlier) são uma família de polinômios ortogonais introduzida por Carl Charlier. Eles são dados em termos da função hipergeométrica generalizada por
C
n
( x ; μ ) =
2
F
0
( − n , − x ; − ; − 1
/
μ ) = ( − 1
)
n
n !
L
n
( − 1 − x )
(
−
1 μ
)
,
{\displaystyle C_{n}(x;\mu )={}_{2}F_{0}(-n,-x;-;-1/\mu )=(-1)^{n}n!L_{n}^{(-1-x)}\left(-{\frac {1}{\mu }}\right),}
onde
L
{\displaystyle L}
são os polinômios generalizados de Laguerre. Eles satisfazem a seguinte relação de ortogonalidade no espaço de Hilbert das sequências quadrado-somáveis associadas à distribuição de Poisson com parâmetro
μ
{\displaystyle \mu }
e
μ
⟨
C
n
( ⋅ , μ ) ,
C
m
( ⋅ , μ ) ⟩ =
∑
x = 0
∞
μ
x
x !
C
n
( x ; μ )
C
m
( x ; μ ) =
e
μ
μ
− n
n !
δ
n m
,
μ > 0 ,
{\displaystyle e^{\mu }\langle C_{n}(\cdot ,\mu ),C_{m}(\cdot ,\mu )\rangle =\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {\mu ^{x}}{x!}}C_{n}(x;\mu )C_{m}(x;\mu )=e^{\mu }\mu ^{-n}n!\delta _{nm},\quad \mu >0,}
onde
δ
n m
{\displaystyle \delta _{nm}}
é o delta de Kronecker. Eles formam uma sequência de Sheffer relacionada ao processo de Poisson, de forma semelhante a como os polinômios de Hermite se relacionam ao movimento browniano.
Ver também Polinômios de Wilson, uma generalização dos polinômios de Charlier.
Referências
Bibliografia C. V. L. Charlier (1905–1906) Über die Darstellung willkürlicher Funktionen, Ark. Mat. Astr. och Fysic 2, 20. Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010). «Hahn Class: Definitions». In: Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. NIST Handbook of Mathematical Functions. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. MR 2723248 Szegő, Gabor (1939), Orthogonal Polynomials, ISBN 978-0-8218-1023-1, Colloquium Publications – American Mathematical Society, MR 0372517
