Teorema de Grothendieck–Riemann–Roch

Na matemática, especificamente na geometria algébrica, o teorema de Grothendieck-Riemann-Roch é um resultado de grande alcance sobre coomologia coerente. É uma generalização do teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, sobre variedades complexas, que por sua vez é uma generalização do teorema de Riemann-Roch clássico para fibrados de linhas em superfícies de Riemann compactas. Os teoremas do tipo Riemann-Roch relacionam as características de Euler da coomologia de um fibrado vetorial com seus graus topológicos, ou mais geralmente suas classes características em (co)omologia ou análogos algébricos destas. O teorema de Riemann-Roch clássico faz isso para curvas e fibrados de linhas, enquanto o teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch generaliza isso para fibrados vetoriais sobre variedades. O teorema de Grothendieck-Riemann-Roch coloca ambos os teoremas em uma situação relativa de um morfismo entre duas variedades (ou esquemas mais gerais) e transforma o teorema de uma declaração sobre um único fibrado para uma que se aplica a complexos de cadeias de feixes. O teorema tem sido muito influente, não menos importante para o desenvolvimento do teorema do índice de Atiyah-Singer. Por outro lado, análogos da análise complexa do teorema de Grothendieck-Riemann-Roch podem ser provados usando o teorema do índice para famílias. Alexander Grothendieck deu uma primeira prova em um manuscrito de 1957, publicado posteriormente. Armand Borel e Jean-Pierre Serre escreveram e publicaram a prova de Grothendieck em 1958. Mais tarde, Grothendieck e seus colaboradores simplificaram e generalizaram a prova.

Formulação Seja X um esquema quase-projetivo liso sobre um corpo. Sob essas suposições, o grupo de Grothendieck

( X )

{\displaystyle K_{0}(X)}

de complexos limitados de feixes coerentes é canonicamente isomorfo ao grupo de Grothendieck de complexos limitados de fibrados vetoriais de posto finito. Usando esse isomorfismo, considere o caráter de Chern (uma combinação racional de classes de Chern) como uma transformação funtorial:

c h

( X ) → A ( X ,

) ,

{\displaystyle \mathrm {ch} \colon K_{0}(X)\to A(X,\mathbb {Q} ),}

onde

( X ,

)

{\displaystyle A_{d}(X,\mathbb {Q} )}

é o grupo de Chow de ciclos em X de dimensão d módulo a equivalência racional, tensorializado com os números racionais. Caso X seja definido sobre os números complexos, o último grupo é mapeado para o grupo de coomologia topológica:

2 dim ⁡ ( X ) − 2 d

( X ,

) .

{\displaystyle H^{2\dim(X)-2d}(X,\mathbb {Q} ).}

Agora considere um morfismo próprio

f : X → Y

{\displaystyle f\colon X\to Y}

entre esquemas quase-projetivos lisos e um complexo limitado de feixes

∙

{\displaystyle {{\mathcal {F}}^{\bullet }}}

X .

{\displaystyle X.}

O teorema de Grothendieck-Riemann-Roch relaciona o mapeamento de avanço (pushforward)

= ∑ ( − 1

)

∗

( X ) →

( Y )

{\displaystyle f_{!}=\sum (-1)^{i}R^{i}f_{*}\colon K_{0}(X)\to K_{0}(Y)}

(soma alternada das imagens diretas superiores) e o avanço (pushforward)

∗

: A ( X ) → A ( Y ) ,

{\displaystyle f_{*}\colon A(X)\to A(Y),}

pela fórmula

c h

(

∙

)

t d

( Y ) =

∗

(

c h

(

∙

)

t d

( X ) ) .

{\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (Y)=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (X)).}

Aqui

t d

( X )

{\displaystyle \mathrm {td} (X)}

é o gênero de Todd (do fibrado tangente de) X. Assim, o teorema fornece uma medida precisa para a falta de comutatividade ao tomar os avanços (pushforwards) nos sentidos acima e o caráter de Chern, e mostra que os fatores de correção necessários dependem apenas de X e Y. De fato, como o gênero de Todd é funtorial e multiplicativo em sequências exatas, podemos reescrever a fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch como

c h

(

∙

) =

∗

(

c h

(

∙

)

t d

(

) ) ,

{\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (T_{f})),}

onde

{\displaystyle T_{f}}

é o feixe tangente relativo de f, definido como o elemento

T X −

∗

( T Y )

{\displaystyle TX-f^{*}(TY)}

( X )

{\displaystyle K_{0}(X)}

. Por exemplo, quando f é um morfismo liso,

{\displaystyle T_{f}}

é simplesmente um fibrado vetorial, conhecido como o fibrado tangente ao longo das fibras de f. Usando a teoria da homotopia A1, o teorema de Grothendieck-Riemann-Roch foi estendido por Navarro & Navarro (2017) para a situação onde f é um mapa próprio entre dois esquemas lisos.

Generalização e especialização Generalizações do teorema podem ser feitas para o caso não liso considerando uma generalização apropriada da combinação

c h

( − )

t d

( X )

{\displaystyle \mathrm {ch} (-)\mathrm {td} (X)}

e para o caso não próprio considerando a coomologia com suporte compacto. O teorema aritmético de Riemann-Roch estende o teorema de Grothendieck-Riemann-Roch para esquemas aritméticos. O teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch é (essencialmente) o caso especial onde Y é um ponto e o corpo é o corpo dos números complexos. Uma versão do teorema de Riemann-Roch para teorias de coomologia orientada foi provada por Ivan Panin e Alexander Smirnov. Ela diz respeito a operações multiplicativas entre teorias de coomologia orientada algébrica (como o cobordismo algébrico). O Grothendieck-Riemann-Roch é um caso particular desse resultado, e o caráter de Chern surge naturalmente nesse cenário.

Exemplos

Fibrados vetoriais em uma curva Um fibrado vetorial

E → C

{\displaystyle E\to C}

de posto

{\displaystyle n}

e grau

{\displaystyle d}

(definido como o grau de seu determinante; ou equivalentemente o grau de sua primeira classe de Chern) em uma curva projetiva lisa sobre um corpo

{\displaystyle k}

tem uma fórmula semelhante ao Riemann-Roch para fibrados de linhas. Se tomarmos

X = C

{\displaystyle X=C}

Y = { ∗ }

{\displaystyle Y=\{*\}}

um ponto, então a fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch pode ser lida como

c h

(

E )

( C , E ) −

( C , E )

∗

(

c h

( E )

t d

( X ) )

∗

( ( n +

( E ) ) ( 1 + ( 1

2 )

(

) ) )

∗

( n +

( E ) + ( n

2 )

(

) )

∗

(

( E ) + ( n

2 )

(

) )

= d + n ( 1 − g ) ;

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ch} (f_{!}E)&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=f_{*}(c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=d+n(1-g);\end{aligned}}}

portanto,

χ ( C , E ) = d + n ( 1 − g ) .

{\displaystyle \chi (C,E)=d+n(1-g).}

Essa fórmula também é válida para feixes coerentes de posto

{\displaystyle n}

e grau

{\displaystyle d}

Morfismos próprios e lisos Uma das vantagens da fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch é que ela pode ser interpretada como uma versão relativa da fórmula de Hirzebruch-Riemann-Roch. Por exemplo, um morfismo liso

f : X → Y

{\displaystyle f\colon X\to Y}

tem fibras que são todas equidimensionais (e isomorfas como espaços topológicos quando ocorre a mudança de base para

{\displaystyle \mathbb {C} }

). Esse fato é útil na teoria de moduli ao considerar um espaço de moduli

{\displaystyle {\mathcal {M}}}

parametrizando espaços próprios e lisos. Por exemplo, David Mumford usou essa fórmula para deduzir relações do anel de Chow no espaço de moduli de curvas algébricas.

Moduli de curvas Para a pilha de moduli (moduli stack) de curvas de gênero

{\displaystyle g}

(e sem pontos marcados)

{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}

existe uma curva universal

π :

→

{\displaystyle \pi \colon {\overline {\mathcal {C}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}

onde

g , 1

{\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}_{g}={\overline {\mathcal {M}}}_{g,1}}

é a pilha de moduli de curvas de gênero

{\displaystyle g}

e um ponto marcado. Então, ele define as classes tautológicas

(

)

∗

(

l + 1

)

∗

(

)

(

)

{\displaystyle {\begin{aligned}K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}&=c_{1}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\kappa _{l}&=\pi _{*}(K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}^{l+1})\\\mathbb {E} &=\pi _{*}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\lambda _{l}&=c_{l}(\mathbb {E} )\end{aligned}}}

onde

1 ≤ l ≤ g

{\displaystyle 1\leq l\leq g}

{\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}}

é o feixe dualizante relativo. Note que a fibra de

{\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}}

sobre um ponto

[ C ] ∈

{\displaystyle [C]\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}

é o feixe dualizante

{\displaystyle \omega _{C}}

. Ele foi capaz de encontrar relações entre os

{\displaystyle \lambda _{i}}

{\displaystyle \kappa _{i}}

descrevendo os

{\displaystyle \lambda _{i}}

em termos de uma soma de

{\displaystyle \kappa _{i}}

(corolário 6.2) no anel de Chow

∗

(

)

{\displaystyle A^{*}({\mathcal {M}}_{g})}

do locus liso usando Grothendieck-Riemann-Roch. Como

{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}

é uma pilha de Deligne-Mumford lisa, ele considerou uma cobertura por um esquema

→

{\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}

que apresenta

= [

G ]

{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=[{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}/G]}

para algum grupo finito

{\displaystyle G}

. Ele usa Grothendieck-Riemann-Roch em

{\displaystyle \omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}}

para obter

c h

(

) ) =

∗

(

c h

(

)

T d

∨

(

) )

{\displaystyle \mathrm {ch} (\pi _{!}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}))=\pi _{*}(\mathrm {ch} (\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1}))}

Como

(

) ≅

M ~

{\displaystyle \mathbf {R} ^{1}\pi _{!}({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}})\cong {\mathcal {O}}_{\tilde {M}},}

isso fornece a fórmula

c h

(

) = 1 +

∗

(

)

∨

(

) ) .

{\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi _{*}({\text{ch}}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).}

O cálculo de

c h

(

)

{\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )}

pode então ser ainda mais reduzido. Em dimensões pares

2 k

{\displaystyle 2k}

(

)

2 k

= 0.

{\displaystyle {\text{ch}}(\mathbb {E} )_{2k}=0.}

Além disso, na dimensão 1,

(

) =

1 12

(

+ δ ) ,

{\displaystyle \lambda _{1}=c_{1}(\mathbb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa _{1}+\delta ),}

onde

{\displaystyle \delta }

é uma classe na fronteira. No caso

g = 2

{\displaystyle g=2}

e no locus liso

{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}

existem as relações

1 12

288

{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {1}{12}}\kappa _{1}\\\lambda _{2}&={\frac {\lambda _{1}^{2}}{2}}={\frac {\kappa _{1}^{2}}{288}}\end{aligned}}}

que podem ser deduzidas analisando o caráter de Chern de

{\displaystyle \mathbb {E} }

Imersão fechada Imersões fechadas

f : Y → X

{\displaystyle f\colon Y\to X}

também têm uma descrição usando a fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch, mostrando outro caso não trivial onde a fórmula se aplica. Para uma variedade lisa

{\displaystyle X}

de dimensão

{\displaystyle n}

e uma subvariedade

{\displaystyle Y}

de codimensão

{\displaystyle k}

, existe a fórmula

(

) = ( − 1

)

k − 1

( k − 1 ) ! [ Y ]

{\displaystyle c_{k}({\mathcal {O}}_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]}

Usando a sequência exata curta

0 →

→

→ 0

{\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Y}\to 0}

, existe a fórmula

(

) = ( − 1

)

( k − 1 ) ! [ Y ]

{\displaystyle c_{k}({\mathcal {I}}_{Y})=(-1)^{k}(k-1)![Y]}

para o feixe de ideais já que

1 = c (

) = c (

) c (

)

{\displaystyle 1=c({\mathcal {O}}_{X})=c({\mathcal {O}}_{Y})c({\mathcal {I}}_{Y})}

Aplicações

Quase-projetividade de espaços de moduli Grothendieck-Riemann-Roch pode ser usado para provar que um espaço de moduli grosseiro

{\displaystyle M}

, como o espaço de moduli de curvas algébricas com pontos marcados

g , n

{\displaystyle M_{g,n}}

, admite uma imersão em um espaço projetivo, logo, é uma variedade quase-projetiva. Isso pode ser feito observando os feixes canonicamente associados em

{\displaystyle M}

e estudando o grau dos fibrados de linhas associados. Por exemplo,

g , n

{\displaystyle M_{g,n}}

tem a família de curvas

π :

g , n

→

g , n

{\displaystyle \pi \colon C_{g,n}\to M_{g,n}}

com seções

g , n

→

g , n

{\displaystyle s_{i}\colon M_{g,n}\to C_{g,n}}

correspondentes aos pontos marcados. Como cada fibra possui o fibrado canônico

{\displaystyle \omega _{C}}

, existem os fibrados de linhas associados

g , n

( π ) = det (

∗

(

g , n

) )

{\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )=\det(\mathbf {R} \pi _{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}))}

g , n

( i )

∗

(

g , n

) .

{\displaystyle \chi _{g,n}^{(i)}=s_{i}^{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}).}

Acontece que

g , n

( π ) ⊗

(

⨂

i = 1

g , n

( i )

)

{\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{n}\chi _{g,n}^{(i)}\right)}

é um fibrado de linhas amplopág 209, portanto, o espaço de moduli grosseiro

g , n

{\displaystyle M_{g,n}}

é quase-projetivo.

História A versão de Alexander Grothendieck do teorema de Riemann-Roch foi originalmente transmitida em uma carta a Jean-Pierre Serre por volta de 1956–1957. Foi tornada pública na primeira Bonn Arbeitstagung, em 1957. Serre e Armand Borel subsequentemente organizaram um seminário na Universidade de Princeton para compreendê-la. O artigo final publicado foi, na verdade, a exposição de Borel-Serre. A importância da abordagem de Grothendieck repousa em vários pontos. Primeiro, Grothendieck mudou a própria declaração: o teorema era, na época, entendido como um teorema sobre uma variedade algébrica, enquanto Grothendieck o via como um teorema sobre um morfismo entre variedades. Ao encontrar a generalização correta, a prova tornou-se mais simples enquanto a conclusão tornou-se mais geral. Em suma, Grothendieck aplicou uma forte abordagem categórica a uma parte difícil da análise matemática. Além disso, Grothendieck introduziu os K-grupos, conforme discutido acima, o que pavimentou o caminho para a K-teoria algébrica.

Ver também Fórmula de Riemann-Roch de Kawasaki

Notas

Referências

Berthelot, Pierre (1971). Alexandre Grothendieck; Luc Illusie, eds. Théorie des Intersections et Théorème de Riemann-Roch. Col: Lecture Notes in Mathematics (em francês). 225. Berlim; Nova Iorque: Springer-Verlag. xii+700. ISBN 978-3-540-05647-8. doi:10.1007/BFb0066283 Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre (1958). «Le théorème de Riemann–Roch». Bulletin de la Société Mathématique de France (em francês). 86: 97–136. ISSN 0037-9484. MR 0116022. doi:10.24033/bsmf.1500 Fulton, William (1998). Intersection theory. Col: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 2 2a ed. Berlim, Nova Iorque: Springer-Verlag. ISBN 3-540-62046-X. MR 1644323. Zbl 0885.14002 Navarro, Alberto; Navarro, José (2017). «On the Riemann-Roch formula without projective hypothesis». Bibcode:2017arXiv170510769N. arXiv:1705.10769 Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2000). «Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties» Huybrechts, Daniel (18 de novembro de 2004). Complex geometry: An introduction. Col: Universitext (em inglês). [S.l.]: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3540212904 «The Grothendieck Riemann–Roch theorem». 3264 and All That. [S.l.]: Cambridge University Press. 2016. pp. 481–510. ISBN 9781107017085. doi:10.1017/CBO9781139062046.016

Ligações externas O Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch O tópico "Applications of Grothendieck-Riemann-Roch?" no MathOverflow. O tópico "how does one understand GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" no MathOverflow. O tópico "Chern class of ideal sheaf" no Stack Exchange.

Teorema de Grothendieck–Riemann–Roch

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