A massa invariante, massa de repouso, massa intrínseca, massa própria, ou no caso de sistemas ligados simplesmente massa, é a porção da massa total de um objeto físico ou sistema de objetos que é independente do movimento global do sistema. De forma mais precisa, é uma característica da energia e do momento totais do sistema que permanece a mesma em todos os referenciais relacionados por transformações de Lorentz. Se existir um referencial do centro de momento para o sistema, então a massa invariante de um sistema é igual à sua massa total nesse "referencial de repouso". Em outros referenciais, onde o momento do sistema não é nulo, a massa total (também conhecida como massa relativística) do sistema é maior que a massa invariante, mas a massa invariante permanece inalterada. Devido à equivalência massa-energia, a energia de repouso do sistema é simplesmente a massa invariante multiplicada pela velocidade da luz ao quadrado. Da mesma forma, a energia total do sistema é a sua massa total (relativística) multiplicada pela velocidade da luz ao quadrado. Sistemas cujo quadrimomento é um vetor nulo, ou seja, um vetor tipo luz no contexto do espaço de Minkowski (por exemplo, um único fóton ou muitos fótons movendo-se exatamente na mesma direção), possuem massa invariante nula e são referidos como partículas sem massa. Um objeto físico ou partícula que se mova mais rápido que a velocidade da luz teria quadrimomentos do tipo espaço (como o hipotético táquion), e estes não parecem existir. Qualquer quadrimomento do tipo tempo possui um referencial onde o momento (tridimensional) é nulo, o qual é um referencial do centro de momento. Neste caso, a massa invariante é positiva e é referida como massa de repouso. Se os objetos dentro de um sistema estão em movimento relativo, a massa invariante do sistema como um todo será diferente da soma das massas de repouso dos objetos. Isso também é igual à energia total do sistema dividida por c2. Veja a equivalência massa-energia para uma discussão sobre as definições de massa. Uma vez que a massa dos sistemas deve ser medida com uma balança de peso ou de massa num referencial do centro de momento no qual todo o sistema tem momento zero, uma escala como essa sempre mede a massa invariante do sistema. Por exemplo, uma balança mediria a energia cinética das moléculas em uma garrafa de gás como parte da massa invariante da garrafa e, portanto, também da sua massa de repouso. O mesmo se aplica a partículas sem massa em tal sistema, as quais adicionam massa invariante e também massa de repouso aos sistemas, de acordo com as suas energias. Para um sistema isolado com massa, o centro de massa do sistema se move em linha reta com uma velocidade subluminal constante (com uma velocidade que depende do referencial usado para observá-lo). Assim, sempre é possível colocar um observador para se mover junto com o sistema. Neste referencial, que é o referencial do centro de momento, o momento total é zero e o sistema como um todo pode ser considerado "em repouso" se for um sistema ligado (como uma garrafa de gás). Neste referencial, que existe sob essas premissas, a massa invariante do sistema é igual à energia total do sistema (no referencial de momento nulo) dividida por c2. Essa energia total no referencial do centro de momento é a energia mínima que o sistema pode ser observado ter, quando visto por vários observadores a partir de vários referenciais inerciais. Note que, pelas razões acima, não existe um referencial de repouso para fótons individuais, ou raios de luz movendo-se numa única direção. No entanto, quando dois ou mais fótons movem-se em direções diferentes, existe um referencial do centro de massa (ou "referencial de repouso", se o sistema estiver ligado). Portanto, a massa de um sistema de vários fótons movendo-se em direções diferentes é positiva, o que significa que existe uma massa invariante para este sistema, muito embora ela não exista para cada fóton separadamente.
Soma das massas de repouso A massa invariante de um sistema inclui a massa correspondente a qualquer energia cinética dos constituintes do sistema que permaneça no referencial do centro de momento. Assim, a massa invariante de um sistema pode ser maior que a soma das massas invariantes (massas de repouso) de seus constituintes separados. Por exemplo, a massa de repouso e a massa invariante são nulas para fótons individuais, embora eles possam adicionar massa à massa invariante de sistemas. Por essa razão, a massa invariante, de forma geral, não é uma quantidade aditiva (embora existam algumas poucas situações raras em que ela pode ser, como ocorre quando partículas com massa em um sistema sem energia cinética ou potencial podem ser somadas a uma massa total). Considere o caso simples de um sistema de dois corpos, onde o objeto A está se movendo em direção a outro objeto B que inicialmente encontra-se em repouso (em qualquer referencial particular). A magnitude da massa invariante deste sistema de dois corpos (ver definição abaixo) é diferente da soma das massas de repouso (isto é, as suas respectivas massas quando parados). Mesmo se considerarmos o mesmo sistema a partir do referencial do centro de momento, onde o momento líquido é zero, a magnitude da massa invariante do sistema não é igual à soma das massas de repouso das partículas que o compõem. A energia cinética dessas partículas e a energia potencial dos campos de força aumentam a energia total para um valor acima da soma das massas de repouso das partículas, e ambos os termos contribuem para a massa invariante do sistema. A soma das energias cinéticas das partículas conforme calculada por um observador é a menor possível no referencial do centro de momento (novamente, chamado de "referencial de repouso" se o sistema for ligado). Muitas vezes elas também irão interagir através de uma ou mais das forças fundamentais, conferindo a elas uma energia potencial de interação, possivelmente negativa.
Como definida na física de partículas Na física de partículas, a massa invariante m0 é igual à massa no referencial de repouso da partícula, e pode ser calculada através da energia da partícula E e o seu momento p, como medido num referencial qualquer, por meio da relação energia-momento:
m
0
2
c
2
=
(
E c
)
2
−
‖
p
‖
2
{\displaystyle m_{0}^{2}c^{2}=\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}-\left\|\mathbf {p} \right\|^{2}}
ou, em unidades naturais onde c = 1,
m
0
2
=
E
2
−
‖
p
‖
2
.
{\displaystyle m_{0}^{2}=E^{2}-\left\|\mathbf {p} \right\|^{2}.}
A massa invariante é a mesma em todos os referenciais (veja também a relatividade restrita). As equações acima implicam que a massa invariante é o comprimento pseudo-euclidiano do quadrivetor (E, p), calculado utilizando a versão relativística do teorema de Pitágoras, a qual possui um sinal diferente para as dimensões de espaço e de tempo. Este comprimento é preservado sob qualquer impulso ou rotação de Lorentz em quatro dimensões, exatamente da mesma forma como o comprimento usual de um vetor é preservado sob rotações. Na teoria quântica, a massa invariante é um parâmetro na equação de Dirac relativística para uma partícula elementar. O operador quântico de Dirac corresponde ao vetor quadrimomento da partícula. Como a massa invariante é determinada a partir de grandezas que são conservadas durante um decaimento, a massa invariante calculada usando a energia e o momento dos produtos do decaimento de uma única partícula é igual à massa da partícula que decaiu. A massa de um sistema de partículas pode ser calculada pela fórmula geral:
(
W
c
2
)
2
=
(
∑ E
)
2
−
‖
∑
p
c
‖
2
,
{\displaystyle \left(Wc^{2}\right)^{2}=\left(\sum E\right)^{2}-\left\|\sum \mathbf {p} c\right\|^{2},}
onde
W
{\displaystyle W}
é a massa invariante do sistema de partículas, igual à massa da partícula em decaimento.
∑ E
{\textstyle \sum E}
é a soma das energias das partículas
∑
p
{\textstyle \sum \mathbf {p} }
é a soma vetorial do momento das partículas (inclui tanto a magnitude quanto a direção dos momentos) O termo massa invariante também é usado em experimentos de espalhamento inelástico. Dada uma reação inelástica com energia total incidente maior que a energia total detectada (ou seja, nem todas as partículas resultantes são detectadas no experimento), a massa invariante (também conhecida como "massa ausente") W da reação é definida como segue (em unidades naturais):
W
2
=
(
∑
E
in
− ∑
E
out
)
2
−
‖
∑
p
in
− ∑
p
out
‖
2
.
{\displaystyle W^{2}=\left(\sum E_{\text{in}}-\sum E_{\text{out}}\right)^{2}-\left\|\sum \mathbf {p} _{\text{in}}-\sum \mathbf {p} _{\text{out}}\right\|^{2}.}
Se houver uma partícula dominante que não foi detectada durante um experimento, um gráfico da massa invariante mostrará um pico acentuado na massa da partícula ausente. Nesses casos onde o momento ao longo de uma direção não pode ser medido (isto é, no caso de um neutrino, cuja presença é apenas inferida a partir da energia ausente), a massa transversal é utilizada.
Exemplo: colisão de duas partículas Numa colisão de duas partículas (ou um decaimento de duas partículas) o quadrado da massa invariante (em unidades naturais) é
M
2
= (
E
1
+
E
2
)
2
−
‖
p
1
+
p
2
‖
2
=
m
1
2
+
m
2
2
+ 2
(
E
1
E
2
−
p
1
⋅
p
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}M^{2}&=(E_{1}+E_{2})^{2}-\left\|\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}\right\|^{2}\\&=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2\left(E_{1}E_{2}-\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{2}\right).\end{aligned}}}
Partículas sem massa A massa invariante de um sistema composto por duas partículas sem massa cujos momentos formam um ângulo
θ
{\displaystyle \theta }
possui uma expressão conveniente:
M
2
= (
E
1
+
E
2
)
2
−
‖
p
1
+
p
2
‖
2
= [ (
p
1
, 0 , 0 ,
p
1
) + (
p
2
, 0 ,
p
2
sin θ ,
p
2
cos θ )
]
2
= (
p
1
+
p
2
)
2
−
p
2
2
sin
2
θ − (
p
1
+
p
2
cos θ
)
2
= 2
p
1
p
2
( 1 − cos θ ) .
{\displaystyle {\begin{aligned}M^{2}&=(E_{1}+E_{2})^{2}-\left\|{\textbf {p}}_{1}+{\textbf {p}}_{2}\right\|^{2}\\&=[(p_{1},0,0,p_{1})+(p_{2},0,p_{2}\sin \theta ,p_{2}\cos \theta )]^{2}\\&=(p_{1}+p_{2})^{2}-p_{2}^{2}\sin ^{2}\theta -(p_{1}+p_{2}\cos \theta )^{2}\\&=2p_{1}p_{2}(1-\cos \theta ).\end{aligned}}}
Experimentos em colisores Em experimentos com colisores de partículas, frequentemente se define a posição angular de uma partícula em termos de um ângulo azimutal
φ
{\displaystyle \phi }
e da pseudorapidez
η
{\displaystyle \eta }
. Além disso, o momento transversal,
p
T
{\displaystyle p_{T}}
, geralmente é medido. Neste caso, se as partículas não possuem massa ou são altamente relativísticas (
E ≫ m
{\displaystyle E\gg m}
), então a massa invariante torna-se:
M
2
= 2
p
T 1
p
T 2
( cosh (
η
1
−
η
2
) − cos (
φ
1
−
φ
2
) ) .
{\displaystyle M^{2}=2p_{T1}p_{T2}(\cosh(\eta _{1}-\eta _{2})-\cos(\phi _{1}-\phi _{2})).}
Energia de repouso Energia de repouso (também chamada de energia de massa de repouso) é a energia associada com a massa invariante de uma partícula. A energia de repouso
E
0
{\displaystyle E_{0}}
de uma partícula é definida como:
E
0
=
m
0
c
2
,
{\displaystyle E_{0}=m_{0}c^{2},}
onde
c
{\displaystyle c}
é a velocidade da luz no vácuo. Em geral, apenas diferenças em energia têm significado físico. O conceito de energia de repouso segue da teoria da relatividade restrita, que leva à famosa conclusão de Einstein sobre a equivalência entre energia e massa. Veja Dinâmica relativística e invariância.
Ver também Massa na relatividade especial Invariante (física) Massa transversal
Referências
Bibliografia Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (1975). The Classical Theory of Fields: 4-th revised English Edition: Course of Theoretical Physics Vol. 2. [S.l.]: Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9 Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2